Laporan Kecap

Prinsip Logika Matematis

Terdapat empat prinsip logika yang perlu mendapatkan perhatian terutama untuk membahas sifat-sifat di dalam teori bilangan. Dua prinsip pertama berkaitan dengan kuantor dan dua prinsip yang lain berkaitan dengan implikasi.

(a) Pernyataan Berkuantor

Pernyataan “Setiap x memenuhi y” tidak dapat dibuktikan dengan memberikan contoh-contoh x yang memenuhi y. sebagai peragaan, pernyataan setiap bilangan prima adalah bilangan ganjil tidak dibuktikan dengan memberikan contoh atau kasus sebanyak-banyaknya.

11 adalah bilangan prima dan 11 adalah bilangan ganjil

13 adalah bilangan prima dan 13 adalah bilangan ganjil

17 adalah bilangan prima dan 17 adalah bilangan ganjil

7 adalah bilangan prima dan 7 adalah bilangan ganjil

23 adalah bilangan prima dan 23 adalah bilangan ganjil

19 adalah bilangan prima dan 19 adalah bilangan ganjil

5 adalah bilangan prima dan 5 adalah bilangan ganjil

31 adalah bilangan prima dan 31 adalah bilangan ganjil

Dengan delapan contoh di atas apakah sudah ada jaminan bahwa setiap bilangan prima adalah bilangan ganjil? Bagaimanakah jika contoh-contohnya ditambah dengan 37, 41, dan 53? Ternyata tidak setiap bilangan prima adalah bilangan ganjil karena 2 adalah bilangan prima dan 2 adalah bilangan tidak ganjil (bilangan genap).

Tidak berlakunya pernyataan “Setiap x memenuhi y” dapat ditunjukkan dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y. Contoh semacam ini disebut dengan contoh kontra (counter example). Sebagai peragaan yang lain, tidak berlakunya sifat setiap bilangan bulat yang tidak positif adalah bilangan bulat negatif dapat ditunjukkan dengan memberikan suatu contoh yaitu bilangan 0 (nol) adalah bilangan bulat yang tidak positif tetapi bukan bilangan negatif.

Pernyataan “Tidak setiap x memenuhi sifat y” dapat dibuktikan dengan memberikan satu contoh x yang tidak memenuhi sifat y. Sebagai peragaan, pernyataan tidak semua bilangan asli n habis dibagi oleh 3 dapat ditunjukkan kebenarannya dengan memberikan suatu contoh yaitu bilangan asli 5 ( atau yang lain) yang tidak habis dibagi oleh 3.

(b) Bukti Langsung

Pembuktian secara langsung dilakukan berdasarkan pernyataan p yang diketahui, p diproses dengan sifat-sifat yang telah berlaku, akhirnya diperoleh pernyataan q. Pernyataan “Jika p maka q” dapat dibuktikan dengan mendasarkan pada pernyataan p yang diketahui kemudian diarahkan untuk memperoleh pernyataan P1, P2, P3, …, Pn.dan akhirnya diperoleh q.

p → P1 →P2 → P3 → …→ Pn→ q                                            

Prinsip modus ponens dan prinsip silogisme memberikan dasar konstruksi pembuktian langsung. Prinsip modus ponens adalah sebagai berikut.

p → q

p

¾¾¾¾

Jadi q.

Prinsip silogisme adalah sebagai berikut.

p → q

q → r

¾¾¾¾

Jadi p → r

Pernyataan “Kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil” dapat dibuktikan secara langsung.  Dalam suatu dalil, pernyataan jika ac membagi bc, maka a membagi b bersesuaian dengan diketahui ac membagi bc, harus dibuktikan a membagi b. Jadi, berangkat dari ac membagi bc sebagai hal yang diketahui, kemudian diproses dengan definisi, dalil, dan aksioma yang sesuai dan sudah diketahui, sehingga akhirnya terbukti a membagi b.

(c) Bukti Tak langsung

Pembuktian tak langsung dapat dilakukan dengan prinsip kontraposisi ataupun kontradiksi.

►Pembuktian dengan prinsip kontraposisi

Dasar pembuktian tersebut adalah prinsip modus tollens berikut.

p ® q

~q

¾¾-¾¾

Jadi ~p

Dalam pembuktian yang dilakukan dengan prinsip kontraposisi, untuk membuktikan p®q, mula-mula dianggap bahwa q tidak benar, dan ternyata menghasilkan ~ p. Hal ini berarti jika p benar maka q benar.

Pernyataan ” Misalkan a bilangan real, dan a ³ 0 . Jika untuk setiap e > 0 berlaku 0 £ a <e maka a = 0 ” dapat dibuktikan secara tak langsung.

Bukti:

Andaikan 0 £ a< e dan a ¹ 0. Dari a³ 0 dan a ¹ 0 diperoleh a > 0 . Karena e sebarang bilangan positif, ambil e =  > 0, maka e < a atau a > e. Hal ini bertentangan dengan pengandaian. Jadi yang benar, 0 £ a <e dan a = 0 .

►Pembuktian Dengan Kontradiksi

Untuk membuktikan bahwa ” p ® q” benar, ditunjukkan bahwa ”p dan ~q” mengakibatkan sesuatu pertentangan. Prinsip kontradiksi dalam pembuktian tak langsung adalah sebagai berikut.

[~ p ® (q Ù ~q)] ® p

Pembuktian tak langsung ini berangkat dari suatu anggapan benar. Kemudian anggapan benar ini dijalankan dengan hal-hal yang diketahui atau sifat yang telah tersedia, ternyata menghasilkan sesuatu yang bertentangan (kontradiksi) atau sesuatu yang mustahil, yang berarti bahwa anggapan yang diambil semula adalah tidak benar (salah).

Pernyataan ”Jika a bilangan real dan a > 0 maka  > 0 ” dapat dibuktikan dengan kontradiksi.

Bukti :

Diketahui a bilangan real dan a > 0 . Andaikan  £ 0. Selanjutnya digunakan prinsip bahwa hasil kali bilangan positif dan bilangan negatif adalah negatif, sebagai berikut.

Untuk  < 0 berarti a ×  < 0 Û 1 < 0 dan untuk  = 0 berarti a ×  =0 Û 1= 0 sehingga untuk  £ 0 berakibat 1 £ 0 . Hal ini kontradiksi dengan sifat bilangan 1 bahwa 1 > 0 .

Jadi yang benar, a > 0 maka  > 0 .